Théorème de Radon-Nikodym
Une mesure absolument continue par rapport à une autre peut être vue comme l'intégration d'une fonction selon cette mesure.
- hypothèses :
- \(\mu,\nu\) sont des mesures \(\sigma\)-finies sur \((E,\mathcal A)\)
- \(\nu\ll\mu\)
- résultats :
- il existe \(f:(E,\mathcal A)\to\overline{\Bbb R}\) tq $$\forall A\in\mathcal A,\quad \nu(A)=\int_A f\,d\mu$$
- on appelle alors \(f\) la dérivée de Radon-Nikodym de \(\nu\) par rapport à \(\mu\) et on note \(\nu=f\mu\)
- formule : $$\displaystyle\lim_{r\to0}\frac{\mu(B(x,r))}{\lambda_d(B(x,r))}=f(x)$$
- hypothèses :
- \(\mu\) est une mesure de radon tq \(\mu\ll\lambda_d\)
- \(f\) \(\in L^1_\text{loc}({\Bbb R}^d,{\mathcal B}({\Bbb R}^d),\lambda_d)\) est la dérivée de Radon-Nikodym de \(\mu\) par rapport à \(\lambda_d\)
- éléménts de preuve : théorème de représentation de Riesz dans \(L^2\) en prenant \(g=\Bbb1_A\)
Théorème de Radon-Nikodym :
- \((E,\mathcal E)\) est un espace mesurable
- \(\mu,\nu\) sont deux mesures \(\sigma\)-finies sur \((E,\mathcal E)\)
- \(\nu\ll\mu\)
$$\Huge\iff$$
- il existe \(g:E\to{\Bbb R}^+\) mesurable tq $$\forall A\in\mathcal E,\quad \nu(A)=\int_Ag\,d\mu$$
Mesure absolument continue
